カイ二乗分布は，ここ，を参考にしました．
定義は，
標準正規分布，N(0,1)から，ｎ個の標本，X1, X2, ... Xnを独立に抽出したとする．
この時，ｎ個の標本の二乗和Ｚが従う分布を自由度ｎのカイ二乗分布という
というものです．
つまり，標準正規分布，
\(\Large \displaystyle X = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi }} \displaystyle exp \left[ - \frac{t^2}{2 } \right] \)
とした場合に，二乗和Zが，
\(\Large \displaystyle Z = X_1^2 + X_2^2 + ..... + X_n^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi (n) \)
ということです．実際の自由度ｎのカイ二乗分布の確率密度は，
\(\Large \displaystyle f_n (x)= \frac{1}{2^{n/2} \Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} x^{\frac{n}{2}-1} exp \left( - \frac{x}{2} \right) \)
となるようです．．．．すいません，式を追うことはできたのですが，しっかり身についていません．．．
自由度ｎのカイ二乗分布の確率密度とガンマ分布との関係は，ここ，に．
実際にシミュレートしてみると（1万回試行，n=1～4）
のように，n=1, 2, の場合は単調減少，n=3以上の場合はピークを持つ分布となります．
前頁の，
\(\Large \displaystyle U = \frac{(n-1) s^2}{ \sigma^2} = \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{ \sigma^2} = \chi_{n-1}^2\)
が自由度１のカイ二乗分布となることを検証しましょう．
\(\Large \displaystyle Y = \frac{ 1}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \)
\(\Large \displaystyle \hspace{18 pt} = \frac{ 1}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \mu -\bar{x} + \mu)^2 \)
\(\Large \displaystyle \hspace{18 pt} = \frac{ 1}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n \{ (x_i - \mu) - (\bar{x} - \mu) \}^2 \)
\(\Large \displaystyle \hspace{18 pt}
= \frac{ 1}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2
-\frac{ 2}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n \{(x_i - \mu) \cdot (\bar{x} - \mu) \}
+\frac{ 1}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n (\bar{x} - \mu)^2 \)
第二，三項に注目すると，
\(\Large \displaystyle
\hspace{18 pt} -\frac{ 2}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n \{(x_i - \mu) \cdot (\bar{x} - \mu) \}
+\frac{ 1}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n (\bar{x} - \mu)^2 \)
\(\Large \displaystyle
= -\frac{ 2}{ \sigma^2} (\bar{x} - \mu)\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)
+\frac{ n}{ \sigma^2} (\bar{x} - \mu)^2 \)
\(\Large \displaystyle = \frac{ 1}{ \sigma^2} (\bar{x} - \mu)\displaystyle \left[ n (\bar{x} - \mu) - 2 \sum_{i=1}^n (x_i - \mu) \right] \)
\(\Large \displaystyle = \frac{ 1}{ \sigma^2} (\bar{x} - \mu)\displaystyle \left[ n (\bar{x} - \mu) - 2 n \bar{x} +2 n \mu \right] \)
\(\Large \displaystyle = \frac{ 1}{ \sigma^2} (\bar{x} - \mu)\displaystyle \left[ n (\bar{x} - \mu) - 2 n (\bar{x} - \mu) \right] \)
\(\Large \displaystyle = \frac{ 1}{ \sigma^2} (\bar{x} - \mu)\displaystyle \left[ - n (\bar{x} - \mu) \right] \)
\(\Large \displaystyle = -\frac{ n}{ \sigma^2} (\bar{x} - \mu)^2 \)
したがって，
\(\Large \displaystyle Y = \frac{ 1}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
= \frac{ 1}{ \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 -\frac{ n}{ \sigma^2} (\bar{x} - \mu)^2 \)
\(\Large \displaystyle \hspace{18 pt} =\sum_{i=1}^n \frac{ \displaystyle (x_i - \mu)^2}{ \sigma^2} -\left( \frac{ \bar{x} - \mu}{ \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n}}} \right)^2 \)
第一項は，N(0,1)の標準正規分布となるので，
\(\Large \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{ \displaystyle (x_i - \mu)^2}{ \sigma^2} = \chi(n) \)
となります．第二項は中心極限定理によって，標本平均Xの分布は正規分布，N(μ，σ2/n)に従うので，
\(\Large \displaystyle \left( \frac{ \bar{x} - \mu}{ \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n}}} \right)^2 = N(0,1) = \chi(1) \)
ということで，
第一項：ｎ個の二乗和
第二項：1個の二乗和
なので，引くと，n-1個の二乗和，となり，Ｙは自由度n-1のカイ二乗分布に従うことになります．
\(\Large \displaystyle \chi(n) - \chi(1) = \chi(n-1) \)
つぎは，母平均の差の信頼空間定，です．
